統計学の公式まとめ

統計学

期待値

離散型確率変数のとき(各値に各値の確率を掛けた総和)

連続型確率変数のとき(変数xに関数を掛けたものを積分)

その他公式

E[aX] = aE[X] (定数はそのまま外に出せる)

E[X + a] = E[X] + a (定数はそのまま外に出せる)

E[X + Y] = E[X] + E[Y] (単純に分解できる)

E[X – Y] = E[X] – E[Y](単純に分解できる)

E[XY] = E[X * Y]

分散

偏差二乗和の平均

V[X] = E[X2] – E[X]2 (期待値のXの2乗から期待値の2乗を引く)

V[aX] = a2V[X] (定数は外に出せるけど2乗)

V[X + a] = V[X] (定数は無視)

XとYが独立のとき

V[X + Y] = V[X] + V[Y] (単純に分解)

V[X – Y] = V[X] + V[Y] (足すなので注意)

XとYが独立でないとき

V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov(X,Y) (独立でないときは共分散を足す)

V[X – Y] = V[X] + V[Y] – 2Cov(X,Y) (独立でないときは共分散を引く)

V[2X + 3Y + 5] = 22V[X] + 32V[Y] – 2*2*3 Cov(X,Y)

共分散

Cov(X,Y) = E[XY] – E[X]E[Y] (全部期待値で計算。XYの積の期待値からXYの期待値の積を引く)

相関係数

変動係数

標準偏差を平均値で割る

歪度・尖度

歪度

尖度

不偏性(不偏推定量)

不偏性とは、一言でいうと、期待値が母数と等しく「偏りがない」という状態のことを言います。そのため、

が成立するとき、θ(母数)の推定値(θハット)は θ の不偏推定量であると言えます。(nの大きさに関係なく、θハットの期待値はθ )

一致性(一致推定量)

一致性があるとは、一言でいうと、標本の数を無限に増やした時、母数と一致していく状態のことを言います。そのため、任意の ε(誤差項)>0 に対して

が成立するとき、θハットはθの一致推定量であると言えます。(nが大きくなれば、推定量θハットは真のパラメータθに近づく)

暗記用

E[aX] =

E[X+a] =

E[X+Y] =

V[X] =

V[aX] =

V[X+a] =

Cov(X,Y) =

V[X+Y] =

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